POLIOMIAL
Polinomial adalah suatu suku banyak yang memiliki variabel, konstanta, koefisien, operasi bilangan dan pangkat dengan bilangan cacah.
Ciri-ciri polinomial:
*Memiliki variabel
*Memiliki konstanta
*Memiliki koefisien
*Pangkat pada variabelnya harus bilangan cacah dan tidak boleh negatif
*Memiliki operasi bilangan
Contoh
polinomial :
a. x3+3x2-2x+1=0
b. x2+3x-2=0
c. x4+2x3+x2+5=0
d. x6+2x4-4X3+3x2-x-1=0
e.
33/2x+2=0
f. 33/2x+2=0
Kelima persamaan diatas merupakan contoh polinomial karena semua pangkat variabel “x” merupakan bilangan cacah&bukan bilangan negatif. Walaupun pada persamaan “e” ada pangkat bilangan desimal namun tetap saja itu termasuk polinomial, karena pangkat yang bilangan desimal itu bukan milik variabel (x) melainkan milik koefisien (3) sehingga dapat dikatakan sebagai polinomial.
Contoh
bukan polinomial :
a. x-3+4x2+3x+9=0
b. x4/3+7x-3+3x2+5=0
c. x2+6x1/2-2=0
d. x6/5+2x4-4X3+3x2-2=0
e. x2,5+3x+8=0
Kelima persamaan diatas bukan merupakan polinomial karena ada pangkat variabel “x” yang bukan bilangan cacah dan bilangan negatif.
A. Operasi Polinomial
Penjumlahan
dan pengurangan polinomial
f(x)=
2x3+x2+2x+3=0
g(x)=
2x2-4x-1=0
a. f(x)+g(x) = (2x3+x2+2x+3)+( 2x2-4x-1)
= 2x3+ x2+2x2+2x-4x+3-1
= 2x3+ 3x2-2x+2
b. f(x)+g(x) =(2x3+x2+2x+3)-( 2x2-4x-1)
=2x3+x2+2x+3-2x2+4x+1
=2x3+ x2-2x2+2x+4x+3+1
=2x3-x2+6x+4
Perkalian polinomial
f(x)=
2x3+x2+2x+3=0
g(x)=
2x2-4x-1=0
f(x).g(x)= (2x3+x2+2x+3).(
2x2-4x-1)
= 4x5-8x4-2x3+2x4-4x3-x2+4x3-8x2-2x+6x2-12x-3
= 4x5-8x4+2x4-2x3-4x3+4x3-x2-8x2+6x2-2x-12x-3
= 4x5-6x4-2x3-3x2-14x-3
B. Menentukan Nilai Polinomial
Contoh:
a. f(x)= x4+2x3+x2+5 ; x=3
b. g(x)=
4x5-6x4-2x3-3x2-14x-3 ; x=-2
1.
metode
horner
a.
f(x)=
x4+2x3+x2+5 ;
x=3
b.
g(x)=
4x5-6x4-2x3-3x2-14x-3 ; x=-2
2. Metode subtitusi
a.
f(x) = x4+2x3+x2+5
;X=3
f(3) = 34+2(33)+32+5
=81+2.27+9+5
=81+54+9+5
=149
b.
g(x) = 4x5-6x4-2x3-3x2-14x-3 ; x=-2
g(-2) = 4(-25)-6(-24)-2(-23)-3(-22)-14(-2)-3
= (4.-32)-(6.16)-(2.-8)-(3.4)+28-3
= -128-96+16-12+25
= -195
C. Algoritma Pembagian
2. Cara metode horner
D. Teorema Sisa
1. Teorema I
Jika suku banyak f(x) dibagi x-k maka sisanya adalah f(k).
Artinya jika kita menemukan soal f(x):x-k, maka untuk mendapatkan sisanya kita hanya
perlu mensubtitusikan nilai k kedalam x.
Perhatikan contoh soal berikut :
2. Teorema II
3. Teorema III
Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x-a)(x-b) maka sisanya adalah px+q.
Dimana f(a)=pa+q dan f(b)=pb+q.
Perhatikan contoh soal berikut:
Tentukan sisa dari f(x)= x3-2x2+3x-1
: x2+x-2
Jawab:
x2+x-2= (x-1)(x+2)
a= 1 dan b= -2
f(a)= pa+q f(b) = pb+q
f(1)= p(1)+q f(-2 = p(-2)+q
= p+q = -2p+q
f(1)= 13-2.12+3.1-1 f(-2) = -23-2.(-22)+3.(-2)-1
p+q=1-2+3-1 -2p+q= -8-8-6-1
p+q=1 (a) -2p+q= -23 (b)
Eliminasi nilai ”p” pada
persamaan a dan b
Mensubtitusikan nilai p kedalam
persamaan a atau b
p+q =1
8+q =1
q =1-8
q = -7
maka sisanya
px+q
=8x-7
4. Teorema Faktor
Untuk setiap algoritma (suku banyak)
f(x)= p(x).h(x)+s(x)
dimana s(x)= 0
Merupakan sebuah faktor.
Contoh:
b.
x3-3x3-13x+15
-3
|
1 -3
|
-13
18
|
-15
-15
|
-3
|
1 -6 5
|
0
|
x= -3
(x+3) x2-6x+5
x= 1 x= 5
(x-1) (x-5)
Sehingga faktornya (x-1)(x-5)
(x+3)
Hp{-3,1,5}
Latihan soal
1.
f(x)=
x2+3x-2
g(x)=
x3+x2-2x+1
Tentukan
:
a.
f(x)+g(x)
b.
f(x)-g(x)
c.
f(x).g(x)
2.
Tentukan
nilai polinomial dari f(x)= 5/4x4+3/2x2+1/7x-8 x=-1/2
3.
Tentukan
algortima g(x)= x2+3x-2 : x-1
4.
Tentukan
faktor dan Hp dari x3+2x2-x-2
Pembahasan
1.
f(x)=
x2+3x-2
g(x)=
x3+x2-2x+1
a.
f(x)+g(x)=
(x2+3x-2) + (x3+x2-2x+1)
= x3+x2+ x2+3x-2x-2+1
= x3+2x2+x-1
b.
f(x)+g(x) =
(x2+3x-2) - (x3+x2-2x+1)
= -
x3+x2-x2+3x+2x-2-1
=
-x3+5x-3
c.
f(x).g(x)
= (x2+3x-2)(x3+x2-2x+1)
= x5+x4-2x3+x2+3x4+3x3-6x2+3x-2x3-2x2+4x-2
= x5+x4+3x4-2x3+3x3-2x3+x2-6x2-2x2+3x+4x-2
= x5+4x4-x3-7x2+7x-2
